Răspuns :
[tex]f(x)=e^{x}\left(x^{2}-4 x+1\right)[/tex]
a)
Pentru a deriva folosim formula de derivare
(f×g)=f'g+fg'
[tex]f'(x)=(e^{x}\left(x^{2}-4 x+1\right))'=e^x(x^2-4x+1)+(2x-4)e^x=e^x(x^2-2x-3)[/tex]
x²-2x-3=x²-1-2x-2=(x-1)(x+1)-2(x+1)=(x+1)(x-3)
[tex]f'(x)=e^x(x+1)(x-3)[/tex]
b)
Daca doua drepte sunt paralele, atunci pantele sunt egale
y=2020
m=0 (m-panta)
Fie A(a,f(a)) punctul in care este tangenta la graficul functiei f
f'(a)=m
f'(a)=0
[tex]f'(a)=e^a(a-3)(a+1)=0[/tex]
De aici avem a-3=0
a=3
si a+1=0
a=-1
Abscisele punctelor situate pe graficul funcției , în care tangenta la graficul funcţiei este paralelă cu dreapta de ecuație y=2020 sunt -1 si 3
c)
Facem monotonia functiei f
f'(x)=0
eˣ(x-3)(x+1)=0
x=3 si x=-1
Facem tabel semn
x -∞ -1 3 +∞
f'(x) + + + + +0- - - -0+ + + +
f(x) ↑ f(-1) ↓ f(3) ↑
[tex]\frac{6}{e}[/tex] [tex]-2e^3[/tex]
f este crescatoare pe (-∞,-1)∪(3,+∞) si descrescatoare pe (-1,3)
[tex]f(-1)=e^{-1}(1+4+1)=e^{-1}\times6=\frac{6}{e} \\\\f(e)=e^3(9-12+1)=-2e^3[/tex]
Calculam limita spre -∞ si +∞ din functia noastra
[tex]\lim_{x \to -\infty} e^x(x^2-4x+1)=e^{-\infty}(\infty+\infty)=0\\\\ e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty} }=\frac{1}{\infty} =0[/tex]
[tex]\lim_{x \to \infty} e^x(x^2-4x+1)=+\infty[/tex]
Graficul functiei f intersecteaza dreapta de ecuatie y=a in 3 puncte⇒ f(x)=a are 3 solutii reale
[tex]a\in(0,\frac{6}{e})\bigcap(-2e^3,\frac{6}{e})\bigcap(-2e^3,+\infty) \\\\a\in (0,\frac{6}{e} )[/tex]
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3464284
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!