Răspuns:
card A = 4
Explicație pas cu pas:
Știm că între produsul xy, [x,y] și (x,y) există relația:
(x,y) · [x,y] = xy, unde [x,y] = cmmmc(x,y) și (x,y) =cmmdc(x,y)
⇒ xy / [x,y] = (x,y)
relația din enunț devine:
(x² + y²) / 26 = (x,y)
notăm cu d cmmdc(x,y)
dacă d este divizor comun, înseamnă că x și y se divid cu d și rezultă un cât număr natural, pe care îl notăm cu a, respectiv b
⇒ x = d·a și y = d·b
rescriem relația:
[(da)² + (db)²] / 26 = d
d(da² + db²) / 26 = d | : d
(da² + db²) / 26 = 1
⇒ da² + db² = 26
d·(a² + b²) = 26
d, a și b fiind numere naturale, avem doar două posibilități:
1·(1 + 25) = 26
⇒ d = 1, a = 1, b = 5 ⇒ x = 1, y = 5
2·(4 + 9) = 26
⇒ d = 2, a = 2, b = 3 ⇒ x = 4, y = 6
în relația care definește mulțimea contează ordinea elementelor, deci fiecare soluție găsită generează două elemente în mulțimea A
⇒ A = {(1,5), (4,6), (5,1), (6,4)}
card A = 4
verificare:
(1² + 5²) / 26 = (5² + 1²) / 26 = 1 = (1, 5) = 1·5 / [1,5]
(4² + 6²) / 26 = (6² + 4²) / 26 = 52 / 26 = 2 = (4, 6) = 4·6 / [4,6]
