AB=6 cm
AD=5 cm
M mijlocul lui AB
N mijlocul lui AD
- Din cele 2 rezulta ca MN este linie mijlocie in ΔDAB⇒
[tex]MN=\frac{BD}{2} =\frac{5}{2}[/tex]
a)
Trebuie sa calculam DO=inaltime si DF, DF⊥BC, DF=apotema piramidei
AF este inaltime in triunghiul ABC echilateral
[tex]AF=\frac{AB\sqrt{3} }{2} =3\sqrt{3}[/tex]
Apotema bazei, OF este situata la o treime de baza, adica
[tex]OF=\frac{1}{3}\times AF=\frac{1}{3}\times 3\sqrt{3} =\sqrt{3}[/tex]
AO=3√3-√3=2√3 cm
- In ΔDOA, dreptunghic in O, aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)
AD²=DO²+AO²
25=DO²+12
DO=√13 cm
- In ΔDOF, aplicam Pitagora
DF²=DO²+OF²
DF²=13+3=16
DF=4 cm
b)
Asa cum am specificat mai sus, MN este linie mijlocie⇒ MN║BD
∡(MN, BC)=∡(BD,BC)=∡DBC=∡DBF
In ΔDBF calculam sinusul:
[tex]sinDBF=\frac{DF}{BD} =\frac{4}{5}[/tex]
c)
[tex]Pr_{(ABC)}MN=ME[/tex]
[tex]pr_{(ABC)}N=E[/tex]
[tex]pr_{(ABC)}M=M[/tex]
AN=ND=[tex]\frac{5}{2}[/tex]
- Ducem DP⊥AC, P mijlocul lui AC
AP=PC=3 cm
DP este apotema piramidei si este egala cu DF
DP=4 cm
NE║DP⇒
[tex]\frac{AN}{AD} =\frac{AE}{AP} =\frac{NE}{DP} \\\\\frac{1}{2}=\frac{NE}{4}\\\\ NE=2\ cm[/tex]
NE⊥AC
AC⊂(ABC)⇒ NE⊥(ABC)⇒NE⊥ME, ME⊂(ABC)
MN²=NE²+ME²
[tex]ME^2=\frac{25}{4} -4\\\\ME^2=\frac{9}{4}\\\\ ME=\frac{3}{2}\ cm[/tex]
