Răspuns :
[tex]A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 a & -2 a^{2} & 1\end{array}\right)[/tex]
a)
Calculam A(1), inlocuind pe a cu 1
[tex]A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right)[/tex]
Calculam det(A(1)), adaugand primele doua linii
[tex]det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right|[/tex]
1 -2 0
0 1 0
det(A(1))=(1+0+0)-(0+0+0)=1
b)
[tex]A(a)\times A(b)=A(a+b)[/tex]
[tex]A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 a & -2 a^{2} & 1\end{array}\right)\\\\\\A(b)=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 b & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 b & -2 b^{2} & 1\end{array}\right)\\\\\\A(a+b)=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 (a+b) & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 (a+b) & -2 (a+b)^{2} & 1\end{array}\right)[/tex]
Calculam A(a)×A(b)
[tex]A(a)\times A(b)=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 a & -2 a^{2} & 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}1 & -2 b & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 b & -2 b^{2} & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 b-2a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2a+2 b & -4ab-2a^2-2b^2 & 1\end{array}\right)[/tex]
-4ab-2a²-2b²=-2(2ab+a²+b²)=-2(a+b)²
[tex]A(a)\times A(b)=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 b-2a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2a+2 b & -4ab-2a^2-2b^2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2(a+b) & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2(a+b) & -2(a+b)^2 & 1\end{array}\right)=A(a+b)[/tex]
c)
[tex]A(n)=A(1) A(2) A(3) \cdot \ldots \cdot A(2020)[/tex]
Ne folosim de punctul b, stim ca A(a)A(b)=A(a+b)
Deci A(1)A(2)=A(3)
A(3)A(4)=A(7)
...
[tex]A(1)A(2)A(3)\cdot...\cdot A(2020)=A(1+2+...+2020)=A(\frac{2020\times 2021}{2} )\\\\A(n)=A(\frac{2020\times 2021}{2} )=A(1010\times2021)[/tex]
n=1010×2021, care este multiplu de 2021
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/8858130
#BAC2022
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!