Răspuns :
[tex]A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x & 1 & -x \\ 1 & 0 & 1 \\ -x & 1 & x\end{array}\right)[/tex]
a)
Calculam A(1), inlocuind pe x cu 1, apoi calculam det(A(1)), adaugand primele doua linii
[tex]A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)[/tex]
[tex]det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right|[/tex]
1 1 -1
1 0 1
det(A(1))=(0-1-1)-(0+1+1)=-2-2=-4
b)
Demonstrati ca [tex]{det}(A(x) A(y)-A(2 x y))=0[/tex]
Calculam prima data A(x)A(y)
[tex]A(x)A(y)=\left(\begin{array}{ccc}x & 1 & -x \\ 1 & 0 & 1 \\ -x & 1 & x\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}y & 1 & -y \\ 1 & 0 & 1 \\ -y & 1 & y\end{array}\right)=\\\\\left(\begin{array}{ccc}2xy+1 &0 & -2xy+1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2xy+1 & 0 & 2xy+1\end{array}\right)[/tex]
Apoi calculam A(x)A(y)-A(2xy)
[tex]A(x)A(y)-A(2xy)=\left(\begin{array}{ccc}2xy+1 &0 & -2xy+1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2xy+1 & 0 & 2xy+1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2xy &1 & -2xy \\ 1 & 0 & 1 \\ -2xy & 1 & 2xy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 &-1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)[/tex]
Calculam det(A(x)A(y)-A(2xy))
[tex]det(A(x)A(y)-A(2xy))=\left|\begin{array}{ccc}1 &-1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right|[/tex]
1 -1 1
-1 2 -1
det(A(x)A(y)-A(2xy))=(2+1+1)-(2+1+1)=4-4=0
c)
[tex]A(1) A\left(\frac{1}{2}\right)+A(2) A\left(\frac{1}{4}\right)+\ldots+A(1010) A\left(\frac{1}{2020}\right)=n I_{3}[/tex]
Ne folosim de punctul b, stim ca
[tex]A(x)A(y)=\left(\begin{array}{ccc}2xy+1 &0 & -2xy+1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2xy+1 & 0 & 2xy+1\end{array}\right)[/tex]
Observam ca daca [tex]y=\frac{1}{2x}[/tex] atunci
[tex]A(x)A(y)=A(x)A(\frac{1}{2x})= \left(\begin{array}{ccc}2 &0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)[/tex]
Dam factor comun pe 2 si vom obtine:
[tex]A(x)A(y)=A(x)A(\frac{1}{2x})= 2\times \left(\begin{array}{ccc}1 &0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=2I_3[/tex]
[tex]A(1) A\left(\frac{1}{2}\right)+A(2) A\left(\frac{1}{4}\right)+\ldots+A(1010) A\left(\frac{1}{2020}\right)=n I_{3}[/tex]
Observam ca fiecare termen va fi egal cu 2I₃. Avem 1010 termeni deci suma noastra va fi egala cu:
[tex]A(1) A\left(\frac{1}{2}\right)+A(2) A\left(\frac{1}{4}\right)+\ldots+A(1010) A\left(\frac{1}{2020}\right)=1010\times 2I_3[/tex]
[tex]1010\times 2I_3=nI_3[/tex]
De aici rezulta ca n=2020
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1009519
#BAC2022
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!