Se consideră funcţia [tex]$f:(-5,5) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{25-x^{2}}$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că [tex]$\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x=\frac{74}{3}$[/tex]. [tex]$5 \mathbf{b} \quad$[/tex] b) Calculați [tex]$\int_{-3}^{3}|x f(x)| d x$[/tex]

[tex]$5 p$[/tex] c) Pentru fiecare număr natural nenul [tex]$n$[/tex], se consideră numărul [tex]$I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1}{f^{n}(x)} d x$[/tex]. Demonstraţi că şirul [tex]$\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$[/tex] este monoton.

Question

Matematică

a fost răspuns

Se consideră funcţia [tex]$f:(-5,5) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{25-x^{2}}$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că [tex]$\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x=\frac{74}{3}$[/tex]. [tex]$5 \mathbf{b} \quad$[/tex] b) Calculați [tex]$\int_{-3}^{3}|x f(x)| d x$[/tex]

[tex]$5 p$[/tex] c) Pentru fiecare număr natural nenul [tex]$n$[/tex], se consideră numărul [tex]$I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1}{f^{n}(x)} d x$[/tex]. Demonstraţi că şirul [tex]$\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$[/tex] este monoton.

Răspuns :

Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!

Ze Learners: Alte intrebari

Substative Defective De SingularAjutați Mă Dau Coroana 

Textul Motanul Încălțat Ma Învătat Sa Fiu

Un Text Descriptiv Literar Despre Munti

Descrie Personalitatea: Mircea Cel Bătrân. 1. Anii De Domnie 2. Statul 3. Calitățile 4. Politica Internă 5. Politica ExternăRepede Vă Rog! Dau Coroana.

Va Rog Rapid Am Nevoie De Asta 

Nadia A Cules 26 De Flori: Panseluțe Și Frezii Numărul Freziilor Este Cu 6 Mai Mare Decât Al Panseluțelor Câte Frezii Și Câte Panseluțe Sunt Va Rog Ajutati-ma

A, B, C, D, E Vă Rog Frumos!!!!

Care Sunt Complementele Prepozitionale Din:De La Inima Are Aceste Probleme Grave .La Ora De Biolgie Am Invatat Despre Inima 

Rezolvare La Geografie Multumesc Anticipat @geografusdaclasa

Ce Este Opera Varog Dau Coroana

ANDREEAPZE ANDREEAPZE · Answer 1

[tex]f(x)=\sqrt{25-x^{2}}[/tex]

a)

[tex]\int\limits^1_0 {25-x^2} \, dx =\int\limits^1_0 {25} \ dx -\int\limits^1_0 x^2} \ dx =25x\ |_0^1-\frac{x^3}{3}\ |_0^1=25-\frac{1}{3} =\frac{75-1}{3} =\frac{74}{3}[/tex]

Nota: am desfacut integrala in doua integrale, apoi folosim formula din tabelul de integrale (cel atasat)

b)

[tex]\int_{-3}^{3}|x f(x)| d x=-\int_{-3}^{0}x f(x) d x+\int_{0}^{3}x f(x) d x[/tex]

[tex]-\int_{-3}^{0}x f(x) d x+\int_{0}^{3}x f(x) d x=-\int_{-3}^{0}x \sqrt{25-x^2} d x+\int_{0}^{3}x \sqrt{25-x^2} d x[/tex]

Luam integrala separat si o calculam

[tex]\int\limits x{\sqrt{25-x^2} } \, dx[/tex]

Ne folosim de tabelul de integrale compuse (atasat)

[tex]\int\limits{\sqrt{u}\times u' } \, dx =\frac{2}{3} u\sqrt{u}[/tex]

In cazul nostru [tex]u=\sqrt{25-x^2}[/tex], atunci il scriem pe x ca fiind [tex]\frac{-1}{2} (25-x^2)'[/tex]

[tex]\int\limits x{\sqrt{25-x^2} } \, dx=-\frac{1}{2} \int\limits {(25-x^2)'} \sqrt{25-x^2} \, dx =-\frac{1}{2}\times\frac{2}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}=-\frac{1}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}[/tex]

Ne intoarcem mai sus sa calculam integrala ceruta

[tex]-\int_{-3}^{0}x \sqrt{25-x^2} d x+\int_{0}^{3}x \sqrt{25-x^2} d x=\frac{1}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}\ |_{-3}^0-\frac{1}{3} (25-x^2)\sqrt{25-x^2}\ |_0^3=[/tex]

[tex]=\frac{1}{3} \times25\times\sqrt{25} -\frac{1}{3} \times16\times \sqrt{16} -(\frac{1}{3} \times16\times \sqrt{16} -\frac{1}{3} \times25\times\sqrt{25})=\\\\=\frac{125}{3} -\frac{64}{3} -\frac{64}{3}+\frac{125}{3}=\frac{122}{3}[/tex]

c)

[tex]I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1}{f^{n}(x)} d x[/tex]

Pentru a face monotonia unui sir va trebui sa calculam [tex]I_{n+1}-I_n[/tex], daca acesta este >0, atunci sirul este crescator, iar daca este <0 este descrescator

[tex]I_{n+1}-I_n=\int_{0}^{1} \frac{1}{(\sqrt{25-x^2})^{n+1} } } d x-\int_{0}^{1} \frac{1}{(\sqrt{25-x^2})^{n} } } d x[/tex]

[tex]I_{n+1}-I_n=\int_{0}^{1} \frac{1-\sqrt{25-x^2} }{(\sqrt{25-x^2})^{n+1} } } d x[/tex]

Pentru x∈[0,1] [tex]1-\sqrt{25-x^2} < 0[/tex]

Pentru x∈[0,1] [tex]\sqrt{25-x^2} > 0\ adica \ (\sqrt{25-x^2})^{n+1} > 0[/tex]

Din cele doua rezulta ca [tex]I_{n+1}-I_n < 0[/tex], adica sirul este descrescator

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4506298

#BAC2022