👤

Pe mulțimea [tex]$M=[0,+\infty)$[/tex] se definește legea de compoziție asociativă [tex]$x * y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{a}$[/tex] a) Arătați că [tex]$N=\sqrt{33} * \sqrt{31}$[/tex] este un număr natural.

[tex]$5 p$[/tex] b) Determinați numărul [tex]$x \in M$[/tex] pentru care [tex]$(x * x * x)^{2}=300$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] c) Se consideră funcția [tex]$f:(-\infty, 0] \rightarrow[0,+\infty), f(x)=\sqrt{-2020 x}$[/tex]. Arătați că [tex]$f(x+y)=f(x) * f(y)$[/tex], pentru orice [tex]$x, y \in(-\infty, 0]$[/tex].


Răspuns :

[tex]x * y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex]

a)

Calculam √33*√31, inlocuind pe x cu √33 si pe y cu √31

[tex]\sqrt{33} *\sqrt{31} =\sqrt{(\sqrt{33}) ^{2}+(\sqrt{31}) ^{2}}=\sqrt{33+31}=\sqrt{64} =8[/tex]

8∈N

b)

Calculam intai x*x

[tex]x * x=\sqrt{x^{2}+x^{2}}=\sqrt{2x^2}=x\sqrt{2}[/tex]

Apoi calculam (x*x)*x

[tex](x * x)*x=x\sqrt{2}*x=\sqrt{(x\sqrt{2})^2+x^2 } =\sqrt{2x^2+x^2} =x\sqrt{3}[/tex]

Apoi calculam (x*x*x)²=300

[tex](x\sqrt{3})^2=300\\\\ 3x^2=300\\\\x^2=100\\\\x=10[/tex]

Avem doar solutia 10 pentru ca -10∉[0,+∞)

c)

[tex]f(x)=\sqrt{-2020x}[/tex]

Calculam f(x+y) si f(y)

[tex]f(x+y)=\sqrt{-2020(x+y)}[/tex]

[tex]f(y)=\sqrt{-2020y}[/tex]

Calculam f(x)*f(y)

[tex]f(x)*f(y)=\sqrt{-2020x+(-2020y)} =\sqrt{-2020(x+y)} =f(x+y)[/tex]

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1027370

#BAC2022

#SPJ4