Explicație pas cu pas:
[tex]f(x) = e^{x} (ax^{2} + bx + c)[/tex]
a) Pentru a = 1, b = c = 0 să se calculeze f'(x)
[tex]f(x) = e^{x} (1 \times x^{2} + 0 \times x + 0) = e^{x} {x}^{2} [/tex]
=>
[tex]f'(x) = (e^{x} {x}^{2})' = (e^{x})' \times{x}^{2} + e^{x} \times ({x}^{2})'[/tex]
unde:
[tex](e^{x})' = e^{x}[/tex]
[tex]({x}^{2})' = 2x[/tex]
[tex]= > f'(x) = e^{x} {x}^{2} + 2xe^{x}[/tex]
b) Să sa determine a, b, c ∈ R, știind că
f(0) = 0, f'(0) = 1 și f"(0) = 4
[tex]f(0) = e^{0} \times (a \times 0^{2} + b \times 0 + c) = 1(0 + 0 + c) = c[/tex]
[tex]=>f(0) = 0 = > c = 0[/tex]
rescriem funcția, cu c = 0
[tex]= > f(x) = e^{x}(ax^{2} + bx)[/tex]
și calculăm f'(x):
[tex]f'(x) = (e^{x}(ax^{2} + bx))' =(e^{x})'(ax^{2} + bx) + e^{x}(ax^{2} + bx)' = e^{x}(ax^{2} + bx)+ e^{x}(2ax + b) = e^{x}(a {x}^{2} + 2ax + bx + b)[/tex]
[tex]f'(0) = e^{0}(a \times {0}^{2} + 2a \times 0 + b \times 0 + b) = 1(0 + 0 + 0 + b) = b[/tex]
[tex]= > f'(0) = 1 = > b = 1[/tex]
rescriem funcția f'(x), cu b = 1:
[tex]= > f'(x) = e^{x}(a {x}^{2} + 2ax + x + 1)[/tex]
și calculăm f''(x):
[tex]f''(x) = (e^{x}(a {x}^{2} + 2ax + x + 1))' = (e^{x})'(a {x}^{2} + 2ax + x + 1) + e^{x}(a {x}^{2} + 2ax + x + 1)' = e^{x}(a {x}^{2} + 2ax + x + 1) + e^{x}(2ax + 2a + 1) = e^{x}(a{x}^{2} + 4ax + x + 2a + 2)[/tex]
[tex]f''(0) = e^{0}(a \times {0}^{2} + 4a \times 0 + 0 + 2a + 2) = 1(0 + 0 + 0 + 2a + 2) = 2a + 2[/tex]
[tex] = > f''(0) = 4 = > 2a + 2 = 4 \\ 2a = 2 = > a = 1[/tex]
=> a = 1; b = 1; c = 0
