Răspuns :
[tex]f(x)=(x+2)^2e^{-x}[/tex]
a)
Derivam dupa formula (fg)'=f'g+fg'
[tex]f'(x)=((x+2)^2e^{-x})'=2(x+2)e^{-x}-(x+2)^2e^{-x}=e^{-x}(x+2)(2-x-2)=-x(x+2)e^{-x}[/tex]
b)
Ecuatia asimptotei orizontale, calculam limita spre +∞
[tex]\lim_{x \to +\infty} (x+2)^2e^{-x}= \lim_{x \to +\infty} (x+2)^2\frac{1}{e^x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{(x+2)^2}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}[/tex]
Aplicam l'Hopital, derivam numarator, derivam numitor
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{2(x+2)}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}[/tex]
Aplicam iar l'Hopital
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} =\frac{2}{\infty} =0[/tex]
Dreapta de ecuatie y=0 este asimptota orizontala spre +∞ la graficul functiei f
c)
Studiem monotonia functiei f
f'(x)=0
-x(x+2)e⁻ˣ=0
x=0 si x+2=0, x=-2
Tabel semn
x -∞ -2 0 +∞
f'(x) - - - - - - - 0 + + + 0 - - - - -
f(x) ↓ f(-2) ↑ f(0) ↓
0 4
f(-2)=0
f(0)=4
f este crescatoare pe intervalul (-2,0)⇒ 0≤f(x)≤4
0≤f(x)≤4
0≤f(y)≤4
Le inmultim si obtinem:
0≤f(x)f(y)≤16
Le bagam sub radical
[tex]\sqrt{0} \leq \sqrt{f(x)f(y)} \leq \sqrt{16} \\\\0 \leq \sqrt{f(x)f(y)} \leq 4[/tex]
Calculam f(x)f(y)
[tex]f(x)f(y)=(x+2)^2e^{-x}(y+2)^2e^{-y}=\frac{(x+2)^2(y+2)^2}{e^xe^y} =\frac{(x+2)^2(y+2)^2}{e^{x+y}}[/tex]
Atunci:
[tex]\sqrt{f(x)f(y)} =\frac{(x+2)(y+2)}{\sqrt{e^{x+y}} } \\\\0\leq \frac{(x+2)(y+2)}{\sqrt{e^{x+y}} } \leq 4[/tex]
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3522397
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!