[tex]f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}[/tex]
a)
Derivam prin formula din tabelul de derivate (vezi atasament)
[tex]f'(x)=(\ln x-\frac{2(x-1)}{x})'=\frac{1}{x}-\frac{2x-2(x-1)}{x^2} =\frac{x-2x+2x-2}{x^2}= \frac{x-2}{x^2}[/tex]
b)
Fie tangenta la graficul functiei f in punctul A(a,f(a))
Daca este paralela cu dreapta de ecuatie y=-x, pantele sunt egale
pant=-1
f'(a)=-1
[tex]\frac{a-2}{a^2} =-1[/tex]
a-2=-a²
a²+a-2=0
(a-1)(a+2)=0
a=1 si a=-2
Dar a=-2<0, deci singura solutie este a=1
c)
Facem monotonia functiei f
f'(x)=0
x-2=0
x=2
x -∞ 0 2 +∞
f'(x) - - - - - - - - - - 0 + + + +
f(x) ↓ f(2) ↑
ln2-1
f(2)=ln2- 1
Pe intervalul (0,2) functia f este descrescatoare
[tex]1 < \frac{\pi}{2}[/tex] ⇒ [tex]f(1) > f(\frac{\pi}{2} )\\\\f(1)=0\\\\0 > f(\frac{\pi}{2} )[/tex]
O problema similara de bac ar fi: https://brainly.ro/tema/9859439
#BAC2022
#SPJ4
