Răspuns :
[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{cc}5 x-3, & x \in(-\infty, 1) \\ x^{2}-x+\sqrt{x^{2}+3}, & x \in[1,+\infty)\end{array}\right[/tex]
a)
O functie este continua daca limita la stanga=limita la dreapta=f(a)
[tex]l_s= \lim_{x \to1,x < 1} 5x-3=5-3=2\\\\l_d= \lim_{x \to 1,x > 1} x^2-x+\sqrt{x^+3} =1-1+2=2\\\\ f(1)=1-1+2=2[/tex]
Fiind egale functia este continua in x=1, pe (-∞,1)∪(1,+∞)⇒ f continua pe R
b)
A(a,f(a))
Daca pantele a doua drepte NU sunt egale, atunci ele NU sunt paralele
Trebuie sa demonstram ca f'(a)≠0
Calculam f'(x)
[tex]f'(x)=(x^2-x+\sqrt{x^2+3})',a > 1 \\\\f'(x)=2x-1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3} } =2x-1+\frac{x}{\sqrt{x^2+3} }[/tex]
[tex]f'(a)=2a-1+\frac{a}{\sqrt{a^2+3} } =0\\\\(2a-1)\sqrt{a^2+3}+a=0\\\\ (2a-1)\sqrt{a^2+3}=-a\\\\\sqrt{a^2+3} > 0\ si \ 2a-1 > 0,\ pt\ a > 1\\\\(2a-1)\sqrt{a^2+3} > 0,\ adica (2a-1)\sqrt{a^2+3}\ nu\ poate\ fi \ -a[/tex]⇒ tangenta la graficul functiei f in punctul A(a,f(a)) nu poate fi paralela cu axa Ox
c)
Pentru a demonstra convexitatea, trebuie sa calculam f''(x), pentru (1,+∞)
[tex]f''(x)=(2x-1+\frac{x}{\sqrt{x^2+3} })'=2+\frac{\sqrt{x^2+3}-x\frac{x}{\sqrt{x^2+3} } }{x^2+3} =2+\frac{3}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3} } \\\\\sqrt{x^2+3} > 0\\\\x^2+3 > 0, \ pt \ x > 1\\\\\frac{3}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3} } > 0,\ adica \ 2+\frac{3}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3} } > 0[/tex]⇒ f este convexa pe (1,+∞)
Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4963271
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, vă rugăm să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la lista de favorite!