[tex]f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)+1[/tex]
a)
Calculam f'(x) conform tabel de derivare (vezi atasament)
f(x)=(x²-9x+20)(x²-5x+6)+1
f'(x)=(2x-9)(x²-5x+6)+(x²-9x+20)(2x-5)
f'(5)=1×6+0×5=6
b)
f(n)=(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)+1
f(n+1)=(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)+1
[tex]\lim_{n \to +\infty} (\frac{(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)+1-1}{(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)+1-1} )^n= \lim_{n +\to \infty} (\frac{n-1}{n-5})^n=1^{\infty}[/tex]
[tex]\lim_{n +\to \infty} (\frac{n-1}{n-5})^n= \lim_{n +\to \infty} (\frac{n-5+4}{n-5})^n= \lim_{n +\to \infty}[ (1+\frac{4}{n-5})^{\frac{n-5}{4} }]^{\frac{4n}{n-5}}=e^{ \lim_{n \to +\infty} \frac{4n}{n-5}}=e^4[/tex]
Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari
c)
f'(x)=[(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)+1]'=[(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)]'
Fie g(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)
g(x)=0
x₁=5
x₂=4
x₃=3
x₄=2
x -∞ 2 3 4 5 +∞
g(x) + + +0- - - - 0 + + 0- - - -0 + + +
↑ ↓ ↑ ↓ ↑
O consecinta a teoremei lui Rolle: Între două rădăcini consecutive ale derivatei unei functii derivabile pe un interval există cel mult o rădăcină a functiei
Conform acesteia avem 3 radacini reale pe intervalele (2,3) , (3,4) si (4,5)
Un alt exercitiu cu teorema lui Rolle gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3874212
#BAC2022
