[tex]f(x)=\ln (x+1)-\ln (x-1)[/tex]
a)
Calculam derivata, folosind tabelul de derivare (vezi atasament)
[tex]f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1} =\frac{x-1-x-1}{(x+1)(x-1)}=-\frac{2}{x^2-1}[/tex]
b)
O functie este bijectiva daca este surjectiva si injectiva
Studiem monotonia functiei f
[tex]f'(x)=-\frac{2}{x^2-1}[/tex]
-2<0
Pentru x∈(1,+∞) , x²-1<0⇒ f'(x)<0⇒f este descrescatoare pe (1,+∞)⇒ f este injectiva
[tex]\lim_{x \to 1} ln(x+1)-ln(x-1)=ln2-ln0=+\infty\\\\ \lim_{x +\to \infty} ln(x+1)-ln(x-1)=\infty-\infty\ forma\ nedeterminata\\\\ \lim_{x +\to \infty} ln(x+1)-ln(x-1)= \lim_{x +\to \infty} ln\frac{x+1}{x-1}=ln( \lim_{x +\to \infty}\frac{x+1}{x-1})=ln1=0[/tex]
Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului, atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari
f este surjectiva si injectiva⇒ f este bijectiva
c)
[tex]\lim_{x +\to \infty} x(ln(x+1)-ln(x-1))= \lim_{x +\to \infty}xln\frac{x+1}{x-1}= \lim_{x +\to \infty}ln(\frac{x+1}{x-1})^x\\\\ = \lim_{x +\to \infty}ln(1+\frac{2}{x-1})^ x= \lim_{x +\to \infty}ln[(1+\frac{2}{x-1})^ {\frac{x-1}{2} }]^{\frac{2x}{x-1}}=e^{ln2}=2[/tex]
Un exercitiu cu functie bijectiva gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4629069
#BAC2022
