[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2^{x}+3^{x}-4, & x \in(-\infty, 1) \\ \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}}, & x \in[1,+\infty)\end{array}\right.[/tex]
a)
Aratati ca functia este continua pe R
Studiem continuitatea in x=1
Daca limita la stanga este egala cu limita la dreapta si este egala cu f(1), atunci functia este continua in x=1
[tex]l_s= \lim_{x \to1_{x < 1}} 2^x+3^x-4=2+3-4=1\\\\l_d=\lim_{x \to1_{x > 1}}\frac{x^2-x+1}{x^2} =1\\\\f(1)=1[/tex]
Functia este continua in x=1
f este continua pe (-∞,1) si (1,+∞)⇒ f este continua pe R
b)
Studiem monotonia functiei f pe (-∞,1)
f(x)=2ˣ+3ˣ-4
Ne folosim de tabelul de derivate (vezi atasament)
f'(x)=2ˣln2+3ˣln3
Functiile exponentiale sunt >0
ln2 si ln 3>0 f'(x)>0⇒ f este crescatoare pe (-∞,1)
c)
Am demonstrat la punctele anterioare ca f este crescatoare pe (-∞,1) si continua in x=1
Deci f(x)≤f(1)
f(1)=1⇒ f(x)≤1, pentru (-∞,1)
Studiem monotonia functiei f pe [1,+∞)
[tex]f'(x)=\frac{(2x-1)x^2-(x^2-x+1)2x}{x^4} =\frac{2x^3-x^2-2x^3+2x^2-2x}{x^4}=\frac{x^2-2x}{x^4} =\frac{x-2}{x^3}[/tex]
f'(x)=0
x-2=0
x=2
Tabel semn
x 1 2 +∞
f'(x) | - - - 0 + + +
f(x) ↓ f(2) ↑
Pe intervalul (1,2) f este descrescatoare, iar pe intervalul (2,+∞) f este crescatoare⇒ f(x)≤1, pentru [1,+∞)
Mai multe detalii despre functii continue gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2867533
#BAC2022
