[tex]f(x)=x^{n}-n \ln x+1[/tex]
a)
Vezi tabelul de derivate din atasament
[tex]f'(x)=nx^{n-1}-\frac{n}{x} =\frac{nx^n-n}{x} =\frac{n(x^n-1)}{x}[/tex]
b)
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n-nlnx+1-x^n}{x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{1-nlnx}{x} =\frac{\infty}{\infty}[/tex]
Aplicam L'Hopital, derivam numitor, derivam numarator
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{-n}{x} }{1} = \lim_{x \to +\infty} -\frac{n}{x} =-\frac{n}{\infty} =0[/tex]
c)
Monotonia functiei f
[tex]f'(x)=0\\\\n(x^n-1)=0\\\\x^n-1=0\\\\x^n=1\\\\x=1[/tex]
Tabel semn
x 0 1 +∞
f'(x) - - - - - - - 0
f(x) ↓ f(1)
Pe intervalul (0,1] f este descrescatoare
f(1)=1-0+1=2
[tex]\lim_{x \to +0} f(x)=-(-\infty)=+\infty[/tex]
Deci avem o solutie in intervalul (0,1], pentru a∈[2,+∞)
Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928401
#BAC2022
#SPJ4
