Răspuns: r = 4 cm; R = 40 cm
Explicație pas cu pas:
În cadrul acestei rezolvări voi folosi trei formule pentru aria unui triunghi oarecare:
- Formula lui Heron: Aria unui triunghi oarecare ABC este [tex]\boxed{\bold{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}}[/tex], unde a, b și c sunt laturile triunghiului, iar p reprezintă semiperimetrul acestuia ([tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex]).
- Aria triunghiului folosind raza cercului însris: Aria unui triunghi oarecare ABC este [tex]\boxed{\bold{r\cdot p}}[/tex], unde r reprezintă raza cercului înscris în triunghi, iar p reprezintă semiperimetrul acestuia.
- Aria triunghiului folosind raza cercului circumscris: Aria unui triunghi oarecare ABC este [tex]\boxed{\bold{\frac{abc}{4R}}}[/tex], unde a, b și c reprezintă laturile triunghiului, iar R reprezintă raza cercului circumscris acestuia.
Vom aborda următorii pași:
- Aflăm aria triunghiului folosind formula lui Heron: [tex]A_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\\A_{\triangle ABC}=\sqrt{\frac{16+12+20}{2}\big(\frac{16+12+20}{2}-16\big)\big(\frac{16+12+20}{2}-12\big)\big(\frac{16+12+20}{2}-20\big)} \\A_{\triangle ABC}=\sqrt{\frac{48}{2}\big(\frac{48}{2}-16\big)\big(\frac{48}{2}-12\big)\big(\frac{48}{2}-20\big)}\\A_{\triangle ABC}=\sqrt{24(24-16)(24-12)(24-20)}\\A_{\triangle ABC}=\sqrt{24\cdot8\cdot12\cdot4}=\sqrt{{12}^{2}\cdot{4}^{2}\cdot{2}^{2}}=12\cdot4\cdot2\:{cm}^{2}\\\boxed{\bold{A_{\triangle ABC}=96\:{cm}^{2}}}[/tex]
- Aflăm raza cercului înscris în triunghi folosind formula pentru aria triunghiului cu raza cercului înscris în acesta:[tex]A_{\triangle ABC}=r\cdot p \Rightarrow \boxed{\bold{r=\frac{A_{\triangle ABC}}{p}}}\\\Rightarrow r=\frac{96\:{cm}^{2}}{24\:cm}\Rightarrow\boxed{\bold{r=4\:cm}}[/tex]
- Aflăm raza cercului circumscris în triunghi folosind formula pentru aria triunghiului cu raza cercului circumscris acestuia:[tex]A_{\triangle ABC}=\frac{abc}{4R}\Rightarrow \boxed{\bold{R=\frac{abc}{4A_{\triangle ABC}}}}\\R=\frac{16\cdot12\cdot20\:{cm}^{3}}{96\:{cm}^{2}}=\frac{3840\:{cm}^{3}}{96\:{cm}^{2}}\Rightarrow \boxed{\bold{R=40\:cm}}[/tex]
