Explicație pas cu pas:
a)
[tex]\frac{ {x}^{2} - 1}{9 - {x}^{2} } \geqslant 0 \iff \frac{ {x}^{2} - 1}{{x}^{2} - 9} \\ \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} \leqslant 0[/tex]
[tex](x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = -1; x = 1 \\ [/tex]
[tex](x - 3)(x + 3) = 0 \implies x = -3; x = 3 \\ [/tex]
condiții de existență: 9 - x² ≠ 0 => x ≠ ±3
din tabelul semnelor:
[tex]\red {\bf x \in (-3;-1] \cup [1;3)}[/tex]
b) condiții de existență: x + 1 ≠ 0 => x ≠ -1 și x + 2 ≠ 0 => x ≠ - 2
[tex]\frac{x - 1}{x + 1} \geqslant \frac{3x}{x + 2} \iff \frac{3x}{x + 2} - \frac{x - 1}{x + 1} \leqslant 0 \\ \frac{3x(x + 1) - (x - 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)} \leqslant 0 \\ \frac{3 {x}^{2} + 3x - {x}^{2} - x + 2}{(x + 1)(x + 2)} \leqslant 0 \\ \frac{2( {x}^{2} + x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} \leqslant 0[/tex]
[tex]{x}^{2} + x + 1 = 0 \\ \Delta < 0 \implies fara \: solutii \: reale \\ \implies {x}^{2} + x + 1 > 0[/tex]
din tabelul semnelor:
[tex]\red {\bf x \in (-2;-1)}[/tex]
c)
[tex]\frac{4 {x}^{2} - 5x - 1}{2 {x}^{2} - 5x + 3} > 1 \iff \frac{4 {x}^{2} - 5x - 1}{2 {x}^{2} - 5x + 3} - 1 > 0 \\ \frac{4 {x}^{2} - 5x - 1 - (2 {x}^{2} - 5x + 3)}{2 {x}^{2} - 5x + 3} > 0 \\ \frac{4 {x}^{2} - 5x - 1 - 2 {x}^{2} + 5x - 3)}{2 {x}^{2} - 5x + 3} > 0 \\ \frac{2 {x}^{2} - 4}{(2x - 3)(x - 1)} > 0 \iff \frac{2({x}^{2} - 2)}{(2x - 3)(x - 1)} > 0 \\ \frac{2(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{(2x - 3)(x - 1)} > 0[/tex]
condiții de existență: 2x - 3 ≠ 0 => x ≠ 3/2 și x - 1 ≠ 0=> x ≠ 1
din tabelul semnelor:
[tex]\red {\bf x \in \left( - \infty ; - \sqrt{2} \right) \cup \left(1 ; \sqrt{2} \right) \cup \left( \frac{3}{2} ; +\infty \right)} \\ [/tex]
