Ecuatia are 3 solutii.
Mentionarea lui [tex]\mathbb{Z}_9[/tex] inseamna ca este vorba despre resturi ale impartirii cu 9.
Iar caciulitele de deasupra denota clasele de resturi.
Spre exemplu [tex]\hat{3}[/tex] este clasa numerelor care impartite la 9 dau restul 3, adica numerele 3, 12, 21, 30 si asa mai departe.
Deci putem spune ca clasa lui 3 este totuna cu clasa lui 12, sau a lui 21 si asa mai departe.
[tex]\hat3=\hat{12}=\hat{21}=...[/tex]
Resturile posibile la impartirea cu 9 sunt 0, 1, 2, 3, ..., 8.
Deci pentru a afla solutiile poti inlocui pe x pe rand cu 0, 1, 2, ..., 8 si sa vezi cand obtii o relatie adevarata.
Pentru x=0 vei avea:
[tex]\hat3 \times \hat0-\hat3=\hat0-\hat3[/tex]
Dar [tex]\hat0=\hat9[/tex], fiindca restul impartirii lui 9 la 9 este 0.
Inseamna ca
[tex]\hat0-\hat3=\hat9-\hat3=\hat6[/tex], deci [tex]\boxed{x=\hat0}[/tex] este solutie
Continuand, il vei inlocui pe x cu [tex]\hat1[/tex] si vei obtine
[tex]\hat3\times\hat1-\hat3=\hat3-\hat3=\hat0[/tex], deci [tex]x=\hat1[/tex] NU este solutie
Continuand
[tex]\hat3\times\hat2-\hat3=\hat6-\hat3=\hat3[/tex], iar nu avem solutie
[tex]\hat3\times\hat3-\hat3=\hat9-\hat3=\hat6[/tex], deci [tex]\boxed{x=\hat3}}[/tex] este solutie
[tex]\hat3\times\hat4-\hat3=\hat{12}-\hat3=\hat9=\hat0[/tex], deci nu avem solutie
[tex]\hat3\times\hat5-\hat3=\hat{15}-\hat3=\hat{12}=\hat3[/tex], deci nu avem solutie
[tex]\hat3\times\hat6-\hat3=\hat{18}-\hat3=\hat{15}=\hat6[/tex], pentru ca restul impartirii lui 15 la 9 este 6,
deci [tex]\boxed{x=\hat6}[/tex] este solutie
Pe urmatoarele le poti verifica singur, dar nu vei gasi alte solutii.
