Explicație pas cu pas:
a)
[tex]a = {4}^{2n + 3} + 3 \cdot {16}^{n + 1} + 36 \cdot {4}^{2n - 1} = \\[/tex]
[tex]= {4}^{3} \cdot {4}^{2n} + 3 \cdot 16 \cdot {( {4}^{2} )}^{n} + 4 \cdot 9 \cdot {4}^{2n - 1} \\[/tex]
[tex]= 64 \cdot {4}^{2n} + 48 \cdot {4}^{2n} + 9 \cdot {4}^{2n} \\[/tex]
[tex]= {4}^{2n} \cdot (64 + 48 + 9) = {4}^{2n} \cdot 121 \\[/tex]
[tex]= {4}^{2n} \cdot {11}^{2} = \bf {({4}^{n} \cdot 11)}^{2}[/tex]
→ a reprezintă pătratul unui număr natural, pentru orice n ∈ N*
b)
[tex]\sqrt{a} = \sqrt{{({4}^{n} \cdot 11)}^{2}} = {4}^{n} \cdot 11 = {( {2}^{2} )}^{n} \cdot 11 = \bf {2}^{2n} \cdot 11 \ \vdots \ 2[/tex]
→ √a este divizibil cu 2 → √a este un număr natural par, pentru orice ∈ N*
q.e.d.
