Răspuns:
n = 7; m = 3
Explicație pas cu pas:
b)
[tex]{3}^{2n + 2}\cdot {4}^{2n + 3} - 12 \cdot {2}^{2n} \cdot {6}^{2(n + 1)} = {12}^{ {2}^{4} } \\ [/tex]
[tex]4 \cdot {3}^{2n + 2}\cdot {4}^{2n + 2} - 3 \cdot {2}^{2} \cdot {2}^{2n} \cdot {6}^{2n + 2} = {12}^{ {2}^{4} } \\ [/tex]
[tex]4 \cdot {(3 \cdot 4)}^{2n + 2} - 3 \cdot {(2 \cdot 6)}^{2n + 2} = {12}^{16} \\ [/tex]
[tex]4 \cdot {12}^{2n + 2} - 3 \cdot {12}^{2n + 2} = {12}^{16} \\ [/tex]
[tex]{12}^{2n + 2} = {12}^{16} \\ [/tex]
[tex]2n + 2 = 16 \iff 2n = 14 \\ \implies \bf n = 7[/tex]
c)
ultima cifră a puterilor nenule ale lui 5 este 5
ultima cifră a puterilor nenule ale lui 6 este 6
ultima cifră a puterilor nenule ale lui 4 se repetă la fiecare două puteri consecutive
ultima cifră a puterilor nenule ale lui 3, 7 și 8 se repetă la fiecare două puteri consecutive
2017 = 4×504 + 1
2017 = 2×1008 + 1
[tex]u( {13}^{2017} + {14}^{2017} + {15}^{2017} + {16}^{2017} + {17}^{2017} + {18}^{2017}) = u(u( {13}^{2017}) + u( {14}^{2017}) + u( {15}^{2017}) + u( {16}^{2017}) + u( {17}^{2017}) + u( {18}^{2017})) = u(u( {3}^{2017}) + u( {4}^{2017}) + u( {5}^{2017}) + u( {6}^{2017}) + u( {7}^{2017}) + u( {8}^{2017})) = u(u( {3}^{4 \cdot 504 + 1}) + u( {4}^{2 \cdot 1008 + 1}) + u(5) + u(6) + u( {7}^{4 \cdot 504 + 1}) + u( {8}^{4 \cdot 504 + 1})) = u(u( {3}^{1}) + u( {4}^{1}) + u(5) + u(6) + u( {7}^{1}) + u( {8}^{1})) = u(3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = u(33) = 3[/tex]
=> m = 3
