Răspuns:
Demonstrăm inegalitatea factorilor din produsele comparate.
Explicație pas cu pas:
Ne ocupăm de prima inegalitate.
Fiecare produs este format din 25 de factori.
Comparăm primul factor al primului produs cu primul factor al celui de-al doilea produs:
[tex]\frac{1}{2} = \frac{3}{6} < \frac{4}{6} = \frac{2}{3}[/tex]
Comparăm al doilea factor al primului produs cu al doilea factor al celui de-al doilea produs:
[tex]\frac{3}{4} = \frac{15}{20} < \frac{16}{20} = \frac{4}{5}[/tex]
După aceeași regulă, demonstrăm că fiecare factor din primul produs este mai mic decât factorul corespondent din al doilea produs.
Înmulțind factorii comparați, obținem rezultatul căutat:
[tex]\frac{1}{2} * \frac{3}{4} * ... * \frac{49}{50} < \frac{2}{3} * \frac{4}{5} * ..... *\frac{50}{51}[/tex]
A doua inegalitate se demonstrează în același mod: comparăm factorii corespondenți din cele două produse:
[tex]\frac{2}{3} = \frac{8}{12} < \frac{9}{12} = \frac{3}{4}[/tex]
[tex]\frac{4}{5} = \frac{24}{30} < \frac{25}{30} = \frac{5}{6}[/tex]
............................
[tex]\frac{50}{51} = \frac{2600}{2652} < \frac{2601}{2652} = \frac{51}{52}[/tex]
Înmulțind factorii comparați, obținem rezultatul căutat:
[tex]\frac{2}{3} * \frac{4}{5} * .....*\frac{50}{51} < \frac{3}{4} *\frac{5}{6} * ......* \frac{51}{52}[/tex]
