Exercitiul 2
O functie f(x) este impara daca f(-x) = -f(x)
(-x) la 2021 va fi egal cu -(x^2021), deoarece este o putere impara.
(-x) la patrat va fi egal cu x la patrat, deoarece semnul minus dispare cand ridicam numarul la o putere para.
Rezultatul este - (x la 2021)/(x^2 + 1) ceea ce este opusul lui f(x), deci functia este impara.
Exercitiul 3
4 se scrie ca 2 la puterea a doua deci 4 la x = 2 la puterea 2x
2 la puterea 2x = 2 la puterea x inmultit cu 2 la puterea x
exercitiul devine:
2 la puterea x inmultit cu 2 la puterea x - 3 inmultit cu 2 la puterea (x+1)
2 la puterea (x+1) = 2 la puterea x inmultit cu 2
putem sa dam factor comun pe 2 la puterea x si vom obtine:
2 la puterea x inmultit cu (2 la puterea x - 3 * 2) = 16
2 la puterea x inmultit cu (2 la puterea x - 6) = 16
2 la puterea (2x) - 6 * 2 la puterea x - 16 = 0
fie 2 la puterea x = t
t² - 6t - 16 = 0
Δ = 36 + 64 = 100
t₁ = (6+10)/2 = 16/2 = 8
t₂ = (6-10)/2 = -4/2 = -2 nu convine deoarece <0
t = 8 ⇔ 2 la x = 8 ⇒ x = 3
Exercitiul 4
multimea {0, 2, 4, 6, 8} are 5 elemente.
pe noi ne intereseaza nr de submultimi cu 2 elemente.
Combinari de 5 luate cate 2 = 5!/(2! * 3!)
= (5*4*3!)/(2!*3!) = (5*4)/2 = 20/2 = 10
Exercitiul 5
- scrii formula pentru ecuatia dreptei in functie de 2 puncte din plan:
(x - xA)/(xB - xA) = (y - yA)/(yB - yA)
- inlocuiesti coordonatele, inmultesti pe diagonala mezii cu extremii si vei obtine:
5*(x+1) = 2*(y+2)
5x+5=2y+4
5x - 2y + 1 = 0 <----asta este ecuatia dreptei AB
- scrii formula pentru panta unei drepte
m(AB) = -a/b = -5/(-2) = 5/2
- daca dreapta d este paralela cu dreapta AB, inseamna ca pantele lor sunt egale
m(d) = m(AB) = 5/2
- scrii formula pentru ecuatia dreptei atunci cand cunosti un punct si panta:
y - yC = m(d) * (x - xC)
y - 2 = 5/2 * (x + 2)
y - 2 = 5/2 * x + 5
ecuatia dreptei cautate este: 5/2 * x - y + 7 = 0
Exercitiul 6
masura unghiului C = 180 - (30 + 45) = 180 - 75 = 105 grade
- desenezi triunghiul ABC respectand masurile unghiurilor
- construiesti dreapta CD perpendiculara pe AB, cu D ∈ [AB]
- unghiul CDB va avea masura de 90 de grade iar unghiul DCB va avea masura de 45 de grade
- cum DCB = DBC = 45 de grade, triunghiul DBC este isoscel, de aici reiese ca DC = BD
- sin DBC = DC/BC
- cum DBC = 45 de grade ⇔ sin DBC = (√2)/2
(√2)/2=DC/BC deci DC = (BC√2)/2 = DB (deoarece triunghiul este isoscel)
- in triunghiul ADC, masura unghiului A este 30 de grade
- AC = 2DC deoarece intr-un triunghi dreptunghic, cateta opusa unghiului de 30 de grade este jumatate din ipotenuza
AC = 2 DC iar DC = (BC√2)/2
deci AC = BC√2
